Nesta palestra falarei sobre o processo de exclusão com taxa lenta na
fronteira, que são partículas que movem-se em {1,…,n-1} como passeios
aleatórios independentes exceto pela regra de exclusão que proíbe duas ou mais
partículas de ocuparem o mesmo sítio ao mesmo tempo. Além disso, nos sítios 1
e n-1 pode ser adicionada ou retirada uma partícula (sempre respeitando a
regra de exclusão) com taxa proporcional a n^{-a}, onde a é uma constante
não-negativa.
Este modelo e outros semelhantes a ele vêm sendo muito estudados, pois
despertam interesse pela sua aplicabilidade e pela sua parte teórica.
O interesse na aplicabilidade é devido ao fato de que ele modela a
transferência de massa entre reservatórios com diferentes densidades. E, uma
das suas não trivialidades teóricas, por exemplo, é fato da medida invariante
ser dada através de matrizes de Ansatz. Outro aspecto teórico interessante, é
que o limite hidrodinâmico é dado pela equação do calor com condições de
fronteira que dependem de quão lenta é o nascimento e morte de partículas na
fronteira. Essas condições de fronteira sofrem uma transição de fase: se a em
[0,1), temos Dirichlet; para a>1, temos Neumann e para o caso crítico a=1,
temos Robin. Nesta palestra, além do limite hidrodinâmico, serão apresentados
outros resultados obtidos para este modelo, tais como flutuações e grandes
desvios.

Neste seminário vamos começar definindo o operador diferencial generalizado
que estamos interessados, definir brevemente os espaços de W-Sobolev, e
apresentar alguns resultados. Em seguida, vamos discutir a obtenção de
aproximações deste operador por operadores definidos em discretizações do
domínio. Finalmente mostraremos como definir sistemas de partículas induzidos
por estes operadores e mostrar que esses sistemas satisfazem limites
hidrodinâmicos e flutuações no equilíbrio. (Trabalho em conjunto com Fábio J.
Valentim)

A ser definido

We consider an urn model with graph based interactions and ask the
question: when can two competing growths (in different colors) co-exist? We
discuss this problem in finite graphs and infinite lattices. We also discuss
an application to co-existence of competing bootstrap type growth models

Based on joint work with Daniel Ahlberg, Svante Janson and Robert Morris.

Nessa apresentação, exporemos uma técnica para estimar a entropia relativa
entre a lei de um sistema de partículas e uma lei produto. Nos dois modelos
que estudamos (passeio aleatório sobre um processo de exclusão e modelo de
reação-difusão) as cotas obtidas são melhores do que as exigidas pelo método
de Yau para a prova de limites hidrodinâmicos. Acreditamos que a técnica pode
ser adaptada para outros modelos e que essas estimativas de entropia podem
ajudar no estudo das flutuações ao redor do limite hidrodinâmico de sistemas
fora do equilíbrio.
Este é um trabalho em colaboração com Milton Jara.

The reproduction speed of a continuous-time branching random walk is
proportional to a positive parameter $lambda$. There is a threshold for
$lambda$, which is called $lambda_w$, that separates almost sure global
extinction from global survival. Only for some classes of branching random
walks it is known that the global critical parameter $lambda_w$ is the
inverse of a certain function of the reproduction rates, which we denote by
$K_w$. We provide here new sufficient conditions which guarantee that the
global critical parameter of tree-like branching random walks equals $1/K_w$.
This result is part of a joint work with Bertacchi, D. and Zucca, F. (ALEA, v.
14, p. 381-402, 2017).

In spite of its simplicity, asymptotic behaviours of RWRE are not
well-understood, especially when the underlying dimension of the walk is
bigger than 1. Significant progress has been done in the higher dimensional
case and when the environment is i.i.d. by Alain-Sol Sznitman through a sequel
of articles (c.f. [Sz01]- [Sz02]- [Sz03]). In a posterior work [BDR14] the
authors were able to improve the aforementioned results by means of improving
in turn the renormalization methods introduced by Sznitman. It is our purpose
to extend the methods developed in these articles for environments which are
non i.i.d. It is important to point out that non-i.i.d. random environments
have been studied in [RA03] and [CZ01] among others, however by different
reasons they do not make use of renormalization. As a very preliminary step,
we would like to extend the ideas introduced in [Sz01]. Thus in this talk, we
will see first an introduction of the model and introduce Kalikow’s condition.
Then we will explain the renewal structure in both: i.i.d. random environment
and mixing environment. Finally we would like to contrast statements of some
results for the two frameworks. This is work in progress.

References:
[BDR14] N. Berger, A. Drewitz and A.F Ramírez. Effective Polynomial
Ballisticity Conditions for Random Walk in Random Environment. Comm. Pure.
Appl. Math. (2014).
[CZ01] F. Comets and O. Zeitouni. A law of large numbers for random walks in
random mixing environments. Ann. Probab. 32 , no. 1B, 88017914, (2004).
[RA03] F. Rassoul-Agha. The point of view of the particle on the law of large
numbers for random walks in a mixing random environment. Ann. Probab. 31 , no.
3, 1441171463, (2003).
[Sz01] A.S. Sznitman. Slowdown estimates and central limit theorem for random
walks in random environment.J. Eur. Math. Soc. 2, no. 2, 9317143 (2000).
[Sz02] A.S. Sznitman. On a class of transient random walks in random
environment. Ann. Probab. 29 (2), 724-765 (2001).
[Sz03] A.S. Sznitman. An effective criterion for ballistic behavior of random
walks in random environment. Probab. Theory Related Fields 122, no. 4, 509-544
(2002).

Nesse seminário, falaremos sobre um tipo de percolação dependente chamada: percolação booleana. Começamos com um processo de pontos de Poisson em R^2 com densidade u e colocamos bolas de raios aleatórios centradas em cada um desses pontos. Nesse modelo, sob condições bastante gerais sobre as caudas dos raios, sabemos que existe um u_c > 0 tal que: – se u < u_c, temos que o conjunto vacante (não tocado pelas bolas) possui uma única componente conexa ilimitada enquanto o conjunto ocupado (composto pela união das bolas) possui somente componentes limitadas. - se u = u_c, nem o conjunto vacante nem o conjunto ocupado possuem componentes ilimitadas. - se u > u_c, temos uma única componente ilimitada no conjunto ocupado e o tamanho de uma componente vacante típica possui caudas exponenciais. As técnicas das quais falaremos nesse seminário se aplicam a outros modelos de percolação tais como Voronoi e confetti. Esse seminário é fruto de uma colaboração com Daniel Ahlberg e Vincent Tassion.

Several authors have studied convergence in distribution to the Brownian web
under diffusive scaling of Markovian random walks. In a paper by R. Roy, K.
Saha and A. Sarkar, convergence to the Brownian web is proved for a system of
coalescing random paths – the Random Directed Forest- which are not Markovian.
Paths in the Random Directed Forest do not cross each other before
coalescence. Here we study a generalization of the non-Markovian Random
Directed Forest where paths can cross each other and prove convergence to the
Brownian web. This provides an example of how the techniques to prove
convergence to the Brownian web for systems allowing crossings can be applied
to non-Markovian systems.

We consider different problems within the general theme of long-range
percolation on oriented graphs. Our aim is to settle the so-called truncation
question, described as follows. We are given probabilities that certain
long-range oriented bonds are open; assuming that the sum of these
probabilities is infinite, we ask if the probability of percolation is
positive when we truncate the graph, disallowing bonds of range above a
possibly large but finite threshold. We give some conditions in which the
answer is affirmative. We also translate some of our results on oriented
percolation to the context of a long-range contact process. Joint work with
Aernout van Enter and Daniel Valesin.

Network growth and evolution is a fundamental theme that has puzzled
scientists for the past decades. A number of models have been proposed to
capture important properties of real networks, the most famous being the model
of Barabási-Albert (BA) which embodies the principle of preferential
attachment. A recognized drawback of most proposed network growth models is
the assumption of global information about the network. For example, the BA
model requires the knowledge of the degree of every node in the network to
randomly choose where a new node will be connected.

In this work we propose and study a network growth model that is purely local.
The model is based on a continuously moving random walk that after s steps
connects a new node to its current location. Through extensive simulations and
theoretical arguments, we analyze the behavior of the model finding a
fundamental dependency on the parity of s, where networks with either
exponential or heavy-tailed degree distribution can emerge. As s increases,
parity dependency diminishes and the model recovers the degree distribution of
BA preferential attachment model. The proposed purely local model indicates
that networks can grow to exhibit interesting properties even in the absence
of any global information.

Joint work with Bernardo Amorim, Daniel Figueiredo, and Giovanni Neglia.

Consideramos uma versão discreta do chamado “Atlas model”, que corresponde a
uma sequência de processos de alcance zero (zero-range) numa linha
semi-infinita, com uma fonte na origem e uma densidade de partículas
divergente. Mostramos que as flutuações no equilíbrio do modelo são regidas
por uma equação do calor estocástica com condições de contorno de Neumann.
Como consequência, mostramos que a corrente de partículas na origem converge
para um movimento Browniano fracionário com exponente de Hurst $H = frac{1}{4}$.

We propose a metric space of coalescing pairs of paths on which we are able to prove (more or less) directly convergence of objects such as the persistence probability in the (one dimensional, nearest neighbor, symmetric) voter model or the diffusively rescaled weight distribution in a silo model (as well as the related output distribution in a river basin model), interpreted in terms of (dual) diffusively rescaled coalescing random walks, to corresponding objects defined in terms of the Brownian web.